北大秦简中的数学文献
在北京大学收藏的秦简牍中，与数学相关的内容所占比重最大共有竹简4卷，即卷三、卷七、卷八以及卷四的一部分，总计400余枚，还有“九九术”木牍1方另外，简牍中混杂的三组竹制算筹与数学也有密切关系，应该是主人生前用来计算的工具。
4卷竹简均为三道编绳。卷三长22.9-23.1厘米，卷四长22.6-23.1厘米，大约相当于秦尺一尺；卷七长23.7-24厘米，不足秦尺的一尺半寸；卷八长27.2-27.9厘米，相当于秦尺一尺二寸。卷七和卷八的形式和内容都很相似。卷七每简分上下两栏书写（以中间编绳为界），上栏形式为“广xx步、从（纵）xx步，成田x亩”，下栏形式为”xx步成田x亩”（其步数即上栏广、纵相乘之数），例如：
廣六十步、从（縱）八十步，成田廿亩。四千八百步成田廿亩[7-020]（见本期《北京大学藏秦简牍概述》（以下简称《概述》）图二：右1）
这实际上是矩形土地面积的计算，只涉及整数的乘、除法，以二百四十平方步为一亩，实行的是秦国的亩制[1]
竹简卷八亦分上下两栏，上栏形式与卷七上栏相同，下栏则为田租的计算，包括税田面积、税率和田租数额。税田面积均为上栏所记亩数的十二分之一，税率则从“三步一斗”到“廿四步一斗”不等例如：
廣百廿步、从（縱）百步，成田五十亩。税田千步，廿步一斗，租五石。[8-023]（《概述》图二：右2）
卷七和卷八的形式整齐划一，每简内容仅有数字的差别，而且未出现任何具体的地名、人名，显然不是当时丈量田亩、征收租税的档案记录，而应该是供人学习田亩、租税计算的一种特殊算术教材或参考书。在卷八1枚简的背面近上端处写有“田書”的篇题（图一），应是这类书的专名。这两卷简册涉及的数学运算比较简单，但是对研究战国晚期至秦代的田亩、赋税制度很有帮助。
竹简卷三（82枚），以及卷四的一部分（正背面合计250余枚），主要内容是各种数学计算方法和例题的汇编，与张家山汉简《算数书》、岳麓秦简《数》以及传世《九章算术》有很多相似之处。由于未发现篇题，我们根据内容将其定名为《算书》[2]。卷三和卷四《算书》的内容有重复之处，也有很多不同由于卷三竹简腐蚀比较严重，文字剥落漫漶较多，其内容尚待进一步整理，这里重点介绍一下内容比较清楚的卷四。
卷四是多种古书的杂抄，其中的《算书》分为甲、乙两篇，书体和内容都不相同。甲篇抄于简册正面前段，共210多枚简，约占正面三分之二的篇幅，下接《日廷》乙篇有近40枚简，开头几枚简抄于简册正面卷尾（可能有残失），上接《制衣》；然后接抄于背面卷首，下接《医方》。
《算书》甲篇可分为四个部分：
第一部分有32枚简，800余字，以鲁久次和陈起二人问对的形式，通过陈起的回答，详尽论述了古代数学的起源、作用和意义。原无篇题，故拈篇首语暂名为《鲁久次问数于陈起》[3]
鲁久次问数于陳起曰：“久次读语、计数弗能竝勶（徹），欲勶（徹）一物，可（何）物為急？”陳[4-142]起對之曰：“子為弗能竝勶（徹），舍语而勶（徹）数=，（数）可语殴（也），语不可数殴（也）”……[4-144]（《概述》图二：右3，4）
“鲁久次”、“陈起”皆为人名，史籍未载。从二人的问答看来，陈起应是当时的一位“数学家”，鲁久次从其问学《周髀算经》载有“荣方”与“陈子”的问对，“陈子”是否就是陈起，不得而知，“勶（徹）”即通晓，西汉中期以后多避汉武帝讳改为“通”。鲁久次问陈起：在读语和计数不能兼通的情况下，想要先通晓一种，哪一种更急迫？陈起回答：如果不能兼通，应该舍弃“语”而先通“数”，因为“数”可以兼盖“语”的功能，“语”却没有“数”的作用。此处将“语”、“数”并举，颇能反映当时人的知识结构。战国时期举凡诸子百家、历史掌故皆称“语”[4]，用个不太恰当的比喻，“语”和“数”大致相当于今天的“文科”和“理科”。陈起贬低“语”而抬高“数”，显然是站在“数学家”的立场，这种“重理轻文”的倾向在战国诸子中极为罕见，让我们看到上古思想史鲜为人知的一面。
随后鲁久次又问：“天下之物，孰不用數？” 陈起答曰：“天下之物，无不用數者。”然后列举“天所盖之大”、“地所生之眾”，“歲四時之至”、“日月相代”、“星辰之生（往）與來”、“五音六律生”“畢用數”。乃至人身“百*[月豊]（體）”之病痛，“其瘳与死必有數”。久次又问：“临官、立（蒞）政、立厇（度）興事，可（何）數为急？”陈起答曰“數无不急者”。以下详举当时社会管理和生产中的种种实际事务，诸如“米粟*{髟桼}（髹）桼（漆）”“甲兵筋革”、“段（鍛）鐵鑄金”、“錦繡文章”、“靳離（籬）鑿豪（壕）”、“和攻（功）度事”等，都离不开“数”。故“民若不知度數，無以智（知）百事經紀”。这段文字从原理和功能两方面，论述了“数”对于宇宙万物和人类社会的作用和意义，其详尽透彻在传世文献中罕有其匹[5]。不过其宗旨仍然重在强调数学的实用价值，并没有多少抽象理论的探讨，这与中国古代数学重实用、轻理论的传统是一致的。
在本篇的结尾，陈起有一段非常重要的话：
……故夫古聖賢書竹白（帛）以教後世子孫，學者必慎毋忘數。凡數之保（寶）莫急（及）[4-126]酈（隸）=首=，（隸首）者算之始也，少廣者算之市也，所求者毋不有也[4-i62]（《概述》图二：右5，6）
“酈首”即传说中的黄帝之臣“隶首”，《史记·历书》司马页《索隐》引《系本》（即《世本》）及《律历志》曰：“黄帝使……隶首作算数”，后世文献关于“隶首作数”的记载盖皆本之《世本》。这一古史传说现在得到了出土资料的印证，“酈（隸）首者算之始”就是说隶首是算术的始祖。“少广”是一种古算术，《九章算术》第四章即“少广”，张家山汉简《算数书》、岳麓秦简《数》以及北大秦简的《算书》也都有“少广”术。“少廣者筭之市也”， [6]，是说“少广”术就像一个市场，学习算术者所需要的东西都可以在其中找到，即“所求者毋不有也”。“少广”术虽然形式上是土地长度的计算，实际上却重在训练分数的加减乘除及通分、约分等，运算由浅入深，使学习者得到全面训练，将其比之为“算之市”可谓恰如其分。值得注意的是，《算书》甲篇的第三部分“算题汇编”，其第一题即为“少广”。《鲁久次问数于陈起》篇末特别提到“少广”，似乎暗示两者之间存在某种联系。但是我们还不能由此断定陈起就是《算书》甲篇的作者，因为古书流传情况非常复杂，卷四本身就是多种古书的杂抄，《算书》甲篇也可能是由多种文本摘抄、改编而成，《鲁久次问数于陈起》与“算题汇编”未必来源于同一文本。另外古书多不题撰人，尤其是《算书》这类实用工具性很强的书籍，其“作者”往往是隐形的；即使出现有名有姓的人物，也大多出于伪托或杜撰，很难落实为“作者”。
《算书》甲篇的第二部分是“九九术”，共8枚简，分上下五栏抄写，始于“九九八十一”，终于“一一而二”，形式与今天的“九九乘法表”相差不大。西北敦煌、居延等地也出上过不少类似的汉代“九九术”木简，不过皆为残篇。北大秦简中的“九九术”木牍M -025，行款、内容与竹简“九九术”表格略有不同，篇末多出“二半而一”，故其乘积总计为“凡千一百一十三字”[7]，较竹简的乘积总和多“一”。湖南里耶古城J1出上的一方秦“九九术”木牍，与北大的这方木牍内容完全相同，仅行款略有差异[8]。可见“九九术”所采用的表格形式至迟在战国晚期已经定型，此后流传过程中很少发生变化。将“九九术”表格抄录于“算题汇编”之前，说明它是当时学习算术者必备的基础知识，可能也有方便随时查阅的用意。
第三部分“算题汇编”是《算书》甲篇的主体其基本单位（学者多称为“算题”）一般由一种计算方法（“术”）和一至数道例题组成，前有大圆点“●”作为标志，文中还使用小圆点“·”作为分段符号，另有钩识（句读）符号算题的结构主要分为以下三类：
一、先以“某某述（术）曰”或“曰某某述（术）”开头叙述计算方法，如果有多种算法，则用“·其一述（术）曰”的形式补充在后然后列举例题，例题往往有多道，每道题只有具体数据的差别。这种类型为数最多，例如：
●曰啟廣述（術）：先直（置）其从（縱）数以為法，欲求一亩，即直（置）二百卌步以為實，[4-177]除實如法得一[步]，不盈步者以法命分[4-178]
有田从（縱）廿五步，欲求一亩廣幾可（何）？曰：九步有（又）五分步三。[4-179]
（《概述》图二：右7-9）
（其下还有四道例题，彼此仅数字有别，此处从略）
“启广”即已知矩形土地面积及其长边之长（纵），求其短边之长（广）。与张家山汉简《算数书》中的“启广”对比，可以看出二者算法无别而叙述方式有异：
啟廣田从（縱）卅步，為啟廣幾何而為田一亩？曰：啟八步术（術）曰：以卅步為法，以二百卌步為實，啟从（縱）亦如此。[159][9]
二、先举例题，然后用“其述（术）曰”的形式概括计算方法，张家山汉简《算数书》和《九章算术》中的算题大多属于这种结构例如：
●田廣八分步三，从（縱）十二分步七，问田幾可（何）？·曰：九十六分步之廿 一·其述（術）曰：母相乘為法，[4-212」子相乘為實=，（實）如法而一。[4-213]
本题是矩形土地的面积计算，但涉及分数相乘，其“术”与“乘分”无别。
三、仅叙述计算方法而无例题，为数不多，主要见于抽象运算，如“乘分”、“合分”、“约分”等岳麓秦简《数》中的“乘分”算题还附带抄录了乘法口诀[10]，北大秦简的“乘分”则无乘法口诀，这一点与张家山汉简《算数书》相同。
若干内容相近的算题编为一组，有1枚单独的“标题简”置于本组之前。“标题”书于该简正面上端，其上将竹简头端涂成黑方块，作为提示符号。可确定的这类“标题”有“田”、“租禾”、“租枲”（图二一四）、“自為實”等，概括了本组算题的内容从算题的分组和“标题”的设置看来，主要是针对日常生产生活中遇到的各种实际问题来分类（比如租税计算除“租禾”外还有“租枲”），而不是以同类数学方法的总结和归纳为原则，体现了中国早期数学文献源自实用、又为实用服务的特点。这种同类算题的分组与《九章算术》的“章”有相似之处，据介绍岳麓秦简《数》也有类似的“组群”性特点[11]，但未发现北大秦简这样的“标题简”而张家山汉简《算数书》则看不出这种“以类相从”的结构。
内容方面，有关田亩和租税的计算占《算书》甲篇的一半左右，仅田亩计算就有“里田”、“径田”、“方田”、“箕田”、“员（圆）田”、“启广”、“启从（纵）”等术。其中对特殊形状土地面积的计算不见于张家山汉简《算数书》，但见于岳麓秦简《数》和《九章算术》。另外，岳麓秦简中不见于张家山汉简和《九章算术》的一些内容，如“营军之术”，也见于《算书》甲篇。总体看来，《算书》甲篇的算题类型、形式和篇章结构，与岳麓秦简《数》更为接近，而与张家山汉简《算数书》差别较大。郭书春先生曾指出，《九章算术》可分为术文统率例题与应用问题集两种体例[12]。看来，岳麓秦简《数》和北大秦简《算书》甲篇都是以术文统率例题为主，而张家山汉简《算数书》似乎更偏重于应用问题集。这说明，《九章算术》的两种体例可能有不同的文本来源，而这种不同数学文本之间的差异在秦汉之际甚至更早就已经出现了。
《算书》甲篇的第四部分是衡制换算，包括石、钧、斤、两、甾（锱）、朱（铢）等单位的相互换算，如“一石而四钧”、“一钧而卅斤”等，其中一部分抄写于《日廷》下部的空白处。岳麓秦简《数》也有类似的内容。
以上所介绍的《算书》甲篇的四个组成部分都是同一书手所抄，抄写时间可能相距不远。如前所论，《算书》甲篇的内容可能是摘抄自不同文本，并经抄写者改编，但是四个组成部分之间却存在有机的联系：以第三部分“算题汇编”为中心，第一部分《鲁久次问数于陈起》相当于一篇“导言”，第二部分“九九术”表格和第四部分“衡制换算”则是研习算题时必不可少的参考。经过抄写者的选择和编辑，这些内容客观上已构成一个新的文本。因此我们没有将《算书》甲篇分为四篇独立的文献，而是将其看作一个整体。
《算书》乙篇由多道呈并列关系的算题组成，每道算题内部也分为算法和例题，但算题之间看不出甲篇那种“以类相从”的分组算题内容包括金、布、锡、钱的交易比率，上方及粮食体积计算，距离计算等。每道算题都有自己的题名，如“率”、“禾粟積”、“望遠”等，这一点与张家山汉简《算数书》相似。但题名的书写形式与《算数书》不同，是自右向左横书于本算题开头几枚简的头端（第一道编绳之上）。这种标题形式也见于卷四中的《制衣》、《穿门》等篇，以及睡虎地秦简《日书》、北大汉简《苍颉篇》等，应该是秦代比较流行的一种书写习惯。
北大秦简中的数学类简牍，其抄写年代与岳麓秦简《数》接近，二者同为目前所见我国年代最早的数学书籍[13]。它不仅是出上秦汉数学简牍中数量最大的一批，更有不少内容为前所未见，为中国早期数学史的研究增添了一批宝贵的新资料。其中的《鲁久次问数于陈起》篇，是罕见的涉及数学起源和作用的长篇议论性文字，在中国古代数学思想史上具有填补空白的意义。这批简牍完好的保存状态，使我们有可能复原其完整的篇章结构，对于同类简册（如编联次序已被打乱的岳麓秦简《数》）的整理复原也有参考价值。
目前已发现的四批秦汉数学简牍，其内容都是以日常生产生活所需的各种实用数学知识为主，与传世《九章算术》有明显的渊源关系。岳麓秦简和北大秦简中数学书籍的发现，证明至少在战国晚期至秦代，这些实用数学知识已在社会上广泛传播，在社会管理和生产生活中发挥着重要作用，并且已处于不断的搜集、整理和编订的过程中，而且至迟在秦汉之际，已出现不同文本在体例、结构等方面的差异。这对于探索《九章算术》这一中国最早的实用数学经典的形成过程，是非常重要的线索和启示。
*本文为国家社会科学基金重大项目“北京大学藏秦简牍整理与研究”（10&ZD090）以及国家科技支撑计划“中华文明探源工程及其相关文物保护技术研究”课题“古代简牍保护与整理研究”（2010BAK67B14）的阶段性成果。北京大学藏秦简牍的入藏和整理得到冯燊均国学基金会的资助。
注释：
[1]慧琳《一切经音义》卷七七引《风俗通》曰：“秦孝公以二百四十步为亩”四川青川郝家坪秦墓出上木牍所载秦武土一年颁布的《为田律》，即以二百四十步为亩，参看胡平生《青川秦墓木牍〈为田律〉所见田亩制度》，《文史》第十九辑，中华书局，1983年。
[2]目前发现的同类竹书已有四批，另外三批皆有自题书名：张家山247号西汉墓竹书篇题为《算数书》，岳麓秦简篇题为《数》，睡虎地77号西汉墓竹书篇题为《算术》（后者见湖北省文物考古研究所、云梦县博物馆《湖北云梦睡虎地M77发掘简报》，《江汉考古》2008年第4期）可见这类书籍在当时并无固定书名，但一般都用“数”或“算”来概括其内容。为避免与以前发现的同类竹书相重复，我们暂拟了《算书》这个书名。
[3]最初介绍这篇文献时曾定名为《数论》，其后中国科学院自然科学史研究所郭书春来信指出《数论》之名不妥，因其容易与现代数学中的“数论”产生混淆，我们吸取郭先生的意见改易今名。
[4]《史记·秦始皇本纪》李斯所谓“诗书百家语”，“百家语”即战国诸子百家之言论著作；《国语·楚语下》记申叔时论太子教育，所教授的九类古书中有一类就是“语”，是一种记言为主兼以记事的史书，也称“事语”（刘向《战国策书录》），《国语》就是这类“语”的结集，参见李零《简帛古书与学术源流》，第273页，三联书店 ，2004年。
[5}《汉书·律历志》：“数者，一、十、百、千、万也，所以算数事物，顺性命之理也。……夫推历生律制器，规圜矩方，权重衡平，准绳嘉量，探颐索隐，钩深致远，莫不用焉”其立意与本篇相近，但详尽仍有不及。
[6]此处“市”字与以往所见秦隶“市”字略有小同，但与北大秦简中其他“市”字对比，可确认为“市”字无疑。且本句“始”、“市”、“有”三字古音同属之部，形成韵文。
[7]此处的“凡XX字”不是指伞篇字数，而是指各项乘积的总和，或谓“字”为衍文，但秦汉“九九术”简牍大多如此，应是当时的种习惯。
[8]湖南省文物考古研究所《里耶发掘报告》，彩版十八，岳麓书社，2007年。
[9]《张家山汉墓竹简（一四七号墓）》，文物出版社，2001年；彭浩《张家山汉简〈算数书〉注释》，第 113页，科学出版社，2001年。
[10]参看陈松长《岳麓书院所藏秦简综述》，《文物》2009年第3期；朱汉民、陈松氏主编《岳麓书院藏秦简（贰）》，上海辞书出版社，2011年。
[11]参看肖灿、朱汉民《岳麓书院藏秦简〈数〉的主要内容及历史价值》，《中国史研究》2009年第3期
[12]郭书春《关于中国传统数学的“术”》，载李文林等主编《数学与数学机械化》，山东教育出版社，2001年。
[13]清华大学藏战国竹简中有21枚简组成的“数表”，但据介绍应该是种表格式的计算工具。
（作者系北京大学中国古代史研究中心副教授）
来源：《文物》2012年第6期